Question

如图是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁=B₁C₁=1，∠A₁B₁C₁=90°，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3．
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）求二面角B-AC-A₁的大小；
（3）求此几何体的体积．

Answer 1

分析：（1）由题意及图形，利用直三棱柱的特点，因为O为中点连接OD，由题意利用借助线面垂直的判定定理证明OC∥平面A₁B₁C_1；
（2）由题意利用三垂线定理找到二面角的平面角，在三角形中进行求解二面角的大小；
（3）由题意及图形利用体积分割的方法，把不规则的几何体分割成两个规则的几何体，利用相应的体积公式进行求解．

解答：（1）证明：作OD∥AA₁交A₁B₁于D，连C₁D．
则OD∥BB₁∥CC₁．
因为O是AB的中点，
所以OD=

1

2

(AA1+BB1)=3=CC1．
则ODC₁C是平行四边形，因此有OC∥C₁D．C₁D?平面C₁B₁A₁且OC?平面C₁B₁A₁，
则OC∥面A₁B₁C₁．
（2）如图，过B作截面BA₂C₂∥面A₁B₁C₁，分别交AA₁，CC₁于A₂，C₂．
作BH⊥A₂C₂于H，连CH．
因为CC₁⊥面BA₂C₂，所以CC₁⊥BH，则BH⊥平面A₁C．
又因为AB=

5

，BC=

2

，AC=

3

?AB2=BC2+AC2．
所以BC⊥AC，根据三垂线定理知CH⊥AC，所以∠BCH就是所求二面角的平面角．
因为BH=

2

2

，所以sin∠BCH=

BH

BC

=

1

2

，故∠BCH=30°，
即：所求二面角的大小为30°．
（3）因为BH=

2

2

，所以VB-AA2C2C=

1

3

SAA2C2C•BH=

1

3

•

1

2

(1+2)•

2

•

2

2

=

1

2

．VA1B1C1-A2BC2=S△A1B1C1•BB1=

1

2

•2=1．
所求几何体体积为V=VB-AA2C2C+VA1B1C1-A2BC2=

3

2

．

点评：此题重点考查了线面平行的判定定理，还考查了利用图形及三垂线定理求二面角的平面角的大小；还考查了利用分割法求几何体的体积．