Question

已知函数f（x）=x²+bx+c，且f（1）=0．
（1）若f（0）=-1，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在[-1，3]上的最大、最小值；
（3）要使函数f（x）在[-1，3]上是单调函数，求b的范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（1）=0和f（0）=-1，列出关于b和c的方程组，求解方程组，即可得到b和c的值，从而求得f（x）的解析式；
（2）根据（1）中的解析式，利用二次函数的单调性，即可求得f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值；
（3）根据二次函数的性质可知，当对称轴在区间两侧的时候，函数f（x）为单调函数，故可得到-

b

2

≤-1或-

b

2

≥3，求解即可求得b的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+bx+c，且f（1）=0，f（0）=-1，
∴

f(1)=1+b+c=0 f(0)=c=-1

，解得

b=0 c=-1

，
∴f（x）=x²-1；
（2）由（1）可知，f（x）=x²-1，
∵f（x）的对称轴为x=0，图象开口向上，
∴函数f（x）=x²-1在[-1，0]上单调递减，在（0，3]上单调递增，
∴当x=0时，f（x）取得最小值为f（0）=-1，
又f（-1）=0，f（3）=8，
∴当x=3时，f（x）取得最大值为f（3）=8，
∴函数f（x）在[-1，3]上的最大值为8，最小值为0；
（3）∵f（x）=x²+bx+c，
∴该函数开口向上，对称轴为x=-

b

2

，
∴函数在（-∞，-

b

2

）上单调递减，在（-

b

2

，+∞）上单调递增，
∵函数f（x）在[-1，3]上是单调函数，
∴-

b

2

≤-1或-

b

2

≥3，解得b≤-6或b≥2，
∴b的取值范围为b≤-6或b≥2．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，函数单调性的性质，二次函数的性质．求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．对于函数单调性的应用，常用来求解函数的最值问题．本题重点考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑．属于中档题．