Question

设个不全相等的正数依次围成一个圆圈。

（Ⅰ）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；

（Ⅱ）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：。

Answer 1

（Ⅰ）  （Ⅱ）证明见解析。

解析:

（Ⅰ）因是公比为d的等比数列，从而 由  ，故

     解得或（舍去）。因此

     又    。解得

     从而当时，

    

     当时，由是公比为d的等比数列得

因此

（II）由题意得

有①得       ④

由①，②，③得，       

故.          ⑤

又，故有

.⑥

下面反证法证明：

若不然，设

若取即，则由⑥得，而由③得

得由②得而

④及⑥可推得（）与题设矛盾

同理若P=2，3，4，5均可得（）与题设矛盾,因此为6的倍数

由均值不等式得

由上面三组数内必有一组不相等（否则，从而与题设矛盾），故等号不成立，从而

又，由④和⑥得

因此由⑤得