Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C、BB₁A₁A为全等的矩形，并且AB=1，BB₁=2，AB⊥侧面BB₁C₁C，D为棱C₁C上异于C、C₁的一点，且DB⊥DA₁．
（1）求证：B₁D⊥平面ABD；
（2）求二面角A-DB₁-A₁的余弦值．

Answer 1

（1）证明：依题意，可知BA，BC，BB₁两两垂直，
以B为坐标原点，BC为x轴，BB₁为y轴，BA为z轴建立空间坐标系，
则B（0，0，0），A（0，0，1），C（1，0，0），
B₁（0，2，0），A₁（0，2，1），C₁（1，2，0）
设D（1，y，0），则，
∵DB⊥DA₁，
从而，
∴，
∴B₁D⊥BD，B₁D⊥BA，
∴B₁D⊥平面ABD；
（2）解：由题意A₁B₁⊥B₁D，
又，
∴，
∴B₁D⊥AD，
设二面角A-DB₁-A₁的大小为θ
则，
即二面角A-DB₁-A₁的大小的余弦值为．
分析：（1）依题意，可知BA，BC，BB₁两两垂直，以B为坐标原点，BC为x轴，BB₁为y轴，BA为z轴建立空间坐标系，则，由向量法能够证明B₁D⊥平面ABD．
（2）由题意A₁B₁⊥B₁D，又，故，B₁D⊥AD，设二面角A-DB₁-A₁的大小为θ，由向量法能够求出二面角A-DB₁-A₁的大小的余弦值．
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意向量法的合理运用．