如图,中,侧棱与底面垂直,
,
,点
分别为
和
的中点.
(1)证明:;
(2)求二面角的正弦值.
(1)利用线线平行证明线面平行;(2)利用定义法或向量法求二面角
【解析】
试题分析:
(1)证法一: 连接 1分
由题意知,点分别为
和
的中点,
. 3分
又平面
,
平面
, 5分
平面
. 6分
证法二:取中点
,连
,而
分别为
与
的中点,
,
2分
,
,
,
同理可证 4分
又
平面
//平面
. 5分
平面
,
平面
. 6分
证法三(向量法):以点为坐标原点,分别以直线
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系
,如图所示.
于是
,
,
向量
是 平面
的一个法向量 2分
,
4分
又 5分
平面
. 6分
(2)解法一: 以点为坐标原点,分别以直线
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系
,如图所示.
于是,
,
8分
由(1)知是平面
的一个法向量,
. 10分
设平面的法向量为
,
,
,
,
12分
设向量和向量
的夹 角为
,则
13分
二面角
的的正弦值为
14分
解法二(几何法):如图,将几何体补形成一 个正方体,连交于点
,连
,
显然,,都在同一平面
上.…………7分
易证,
,
平面
,
平面
,
,又
平面
.
取中点
,连
,
分别是
的中点
,
平面
, …………9分
且为垂足,即
平 面
,过点
作
于
,
过作
交
于
,连
,
则即是所求二面角
的补角. …………11分
在中,
,
,
,
在中,
,
又
在
中,
, …………12分
.
…………13分
所求二面角
的正弦值为
…………14分
考点:本题考查了空间中的线面关系
点评:高考中对立体几何解答题的考查一般都体现为一题两法(同一题两种解法:传统法与向量法).而运用向量在解决立体几何问题主要集中在法向量的应用上,它可以证明空间线面的位置关系、求解空间角、距离.同时运用空间向量解答立体几何问题,淡化了传统立体几何中的“形”的推理方法,强化了代数运算,从而降低了思维难度,且思路明确,过程较为程序化.
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