Question

已知函数f（x）=x³-3x．
（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；
（2）若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导数f'（x）=3x²-3，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）先将过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线转化为：方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三个不同实数根，记g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1），下面利用导数研究函数g（x）的零点，从而求得m的范围．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-3，f'（2）=9，f（2）=2³-3×2=2（2分）
∴曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y-2=9（x-2），即9x-y-16=0（4分）
（2）过点A（1，m）向曲线y=f（x）作切线，设切点为（x₀，y₀）
则y₀=x₀³-3x₀，k=f'（x₀）=3x₀²-3．
则切线方程为y-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（x-x₀）（6分）
将A（1，m）代入上式，整理得2x₀³-3x₀²+m+3=0．
∵过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线
∴方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三个不同实数根、（8分）
记g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1）、
令g'（x）=0，x=0或1、（10分）
则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	递增	极大	递减	极小	递增

当x=0，g（x）有极大值m+3；x=1，g（x）有极小值m+2、（12分）
由题意有，当且仅当

g(0)＞0 g(1)＜0

，即

m+3＞0 m+2＜0

，-3＜m＜-2时，
函数g（x）有三个不同零点、
此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线．故m的范围是（-3，-2）（14分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．