Question

（1）选修4-2：矩阵与变换
若二阶矩阵M满足．
（Ⅰ）求二阶矩阵M；
（Ⅱ）把矩阵M所对应的变换作用在曲线3x²+8xy+6y²=1上，求所得曲线的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；
（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q满足a²+b²+c²=n²+p²+q²=m．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）（Ⅰ）记矩阵，可得|A|=-2，A^-1，再根据运算求得结果．
（Ⅱ）设二阶矩阵M所对应的变换为，可得，代入曲线方程3x²+8xy+6y²=1，
化简可得x'²+2y'²=1．由可求得曲线的方程．
（2）（Ⅰ）由于t≠0，可将曲线C的方程化为普通方程：，分t=±1和t≠±1时，分别讨论曲线
的形状．
（Ⅱ）求出直线l的普通方程，与曲线的方程联立方程组，由判别式大于零解得t²＞3，利用韦达定理求出
，代入 求得t²=3，出现矛盾，从而得出结论．
（3）（Ⅰ）利用绝对值的几何意义可得 f（x）的最小值等于2，再由函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，从而得到m的值等于2．
（Ⅱ）把不等式左边化为 乘以（a²+b²+c²），再利用基本不等式证得结论．
解答：（1）解：（Ⅰ）记矩阵，故|A|=-2，故．…（2分）
由已知得．…（3分）
（Ⅱ）设二阶矩阵M所对应的变换为，得，
解得，…（5分）
又3x²+8xy+6y²=1，故有3（-x'+2y'）²+8（-x'+2y'）（x'-y'）+6（x'-y'）²=1，
化简得x'²+2y'²=1． 故所得曲线的方程为x²+2y²=1．…（7分）
（2）解：（Ⅰ）∵t≠0，∴可将曲线C的方程化为普通方程：．…（1分）
①当t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆；  …（2分）
②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…（3分）
（Ⅱ）直线l的普通方程为：x-y+4=0．…（4分）
联立直线与曲线的方程，消y得，化简得（1+t²）x²+8t²x+12t²=0．
若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t⁴-4（1+t²）•12t²＞0，解得t²＞3．…（5分）
又，…（6分）
故=2x₁x₂+4（x₁+x₂）+16=10．
解得t²=3与t²＞3相矛盾． 故不存在满足题意的实数t．…（7分）
（3）解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-2|+|x-4|≥|（x-2）-（x-4）|=2，…（2分）当且仅当2≤x≤4时，等号成立．
再由函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，可得m=2．…（3分）
（Ⅱ），…（5分）
即：（n²+p²+q²）²=4，
故．…（7分）
点评：本题主要考查矩阵、逆矩阵、曲线的线性变换等基础知识．曲线的参数方程、直线的极坐标方程等基础知识．绝对值的几何意义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，及函数与方程思想，属于中档题．