Question

2．已知f（x）=aln（x²+1）+bx存在两个极值点x₁，x₂．
（1）求证：|x₁+x₂|＞2；
（2）若实数λ满足等式f（x₁）+f（x₂）+a+λb=0，试求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的导数，可设g（x）=f′（x），即有方程g（x）=0有两个不同的非零实根x₁，x₂，可得$\frac{a}{b}$＞1，结合韦达定理可得结论；
（2）若实数λ满足等式f（x₁）+f（x₂）+a+λb=0，化简整理可得-λ=$\frac{2a}{b}$ln$\frac{2a}{b}$-$\frac{a}{b}$，设t=$\frac{2a}{b}$＞2，则-λ=tlnt-$\frac{1}{2}$t，求出右边函数的导数，判断单调性，进而可得λ的取值范围．

解答 证明：（1）由f（x）=aln（x²+1）+bx的导数为f′（x）=$\frac{2ax}{{x}^{2}+1}$+b=$\frac{{bx}^{2}+2ax+b}{{x}^{2}+1}$，
令g（x）=bx²+2ax+b，由题意可得g（x）=0有两个不同的非零实根，
得△=4a²-4b²＞0，
因此a＞b＞0，
所以$\frac{a}{b}$＞1；
所以x₁+x₂=-$\frac{2a}{b}$＜-2，
即|x₁+x₂|＞2；
解：（2）由（1）知x₁x₂=1，
f（x₁）+f（x₂）+a
=aln[x₁²x₂²+（x₁²+x₂²）+1]+b（x₁+x₂）+a
=aln[（x₁²+x₂²）+2]+b（x₁+x₂）+a
=aln[（x₁+x₂）²]+b（x₁+x₂）+a
=2aln$\frac{2a}{b}$-a，
由f（x₁）+f（x₂）+a+λb=0得-λ=$\frac{2a}{b}$ln$\frac{2a}{b}$-$\frac{a}{b}$，
设t=$\frac{2a}{b}$＞2，则-λ=tlnt-$\frac{1}{2}$t，
令h（t）=tlnt-$\frac{1}{2}$t，t＞2．
h′（t）=1+lnt-$\frac{1}{2}$=lnt+$\frac{1}{2}$＞0，
h（t）在（2，+∞）是增函数．
因此-λ＞2ln2-1，
即为λ＜1-2ln2．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，构造函数法和运用函数的单调性是解题的关键，难度中档．