Question

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知$A（\frac{{\sqrt{5}}}{5}，\;\frac{{2\sqrt{5}}}{5}）\;，\;\;B（\frac{{7\sqrt{2}}}{10}，\;\frac{{\sqrt{2}}}{10}）$
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求2α+β的值．

Answer 1

分析 （1）先求出两个锐角α，β的余弦，正弦函数值，进而利用商数关系得到两角的正切值，代入正切的和角公式求值．
（2）用正切的二倍角公式，和角公式求出2α+β的正切，再根据其正切值求2α+β的值，在确定其值前要先确定2α+β的取值范围．

解答 解：（1）由已知得：$cosα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，cosβ=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$．$sinα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，sinβ=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．
∴$tanα=2，tanβ=\frac{1}{7}$．
∴$tan（α+β）=\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}=\frac{{2+\frac{1}{7}}}{{1-2×\frac{1}{7}}}=3$．
（2）∵tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{4}{1-4}$=-$\frac{4}{3}$，
∴tan（2α+β）=$\frac{tan2α+tanβ}{1-tan2αtanβ}$=$\frac{-\frac{4}{3}+\frac{1}{7}}{1-（-\frac{4}{3}）×\frac{1}{7}}$=-1．
∵α，β为锐角，
∴0＜2α+β＜$\frac{3π}{2}$，
∴2α+β=$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查两角和与差的正切函数，求解的关键是利用公式求出角的正切值，再求角．本题中涉及到了三角函数中的多个公式，变形灵活，做题时要注意转化正确．本题考查了转化化归的思想，属于基础题．