Question

据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（单位：h）的函数图象如图所示，设t时刻沙尘暴所经过的路程为S（t）．
（Ⅰ）当t=10时，求S（t）的值；
（Ⅱ）求函数S（t）的解析式；
（Ⅲ）若N城位于M地正南方向，且距M地750km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出线段OA的解析式为v=4t，然后把t=10直接代入求出此时的速度，即可求出S（t）的值；
（Ⅱ）先分段求出速度v与时间t的函数函数关系，再分别乘以时间即可求得对应的函数S（t）的解析式；
（Ⅲ）先由分段函数的解析式以及对应的定义域可以求得其最大值，发现其最大值大于750，即可下结论会侵袭到N城，再把S（t）=750代入即可求出对应的t．

解答：解：（Ⅰ）线段OA的解析式为v=4t（0≤t≤10）
当t=10时，v=40，则S=

1

2

×10×40=200（km）；（3分）
（Ⅱ）线段OA的解析式为v=4t（0≤t≤10），则S=

1

2

×t×4t=2t²（5分）
线段AB的解析式为v=40（10＜t≤20），
则S=

1

2

×10×40+40（t-10）=40t-200，（7分）
线段BC的解析式为v=-4（t-30）（20＜t≤30）
S=800-

1

2

×（t-30）[-4（t-30）]=-2（t-30）²+800（9分）
所以S（t）=

2t2                 0≤t≤10 40t-200                  10＜t≤20 -2(t-30)2+800     20＜t≤30

（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知函数S（t）的最大值．
因为S（t）_max=800（km），所以这场沙尘暴会侵袭到N城；（12分）
由S（t）=750求得t=25，所以在沙尘暴发生25小时后它将侵袭到N城．（13分）

点评：本题主要考查分段函数的应用以及函数在生活中的应用问题，是数学与实际生活的结合，属于中档题目．