Question

2．已知sin（$\frac{π}{3}-α$）=$\frac{1}{2}$，求cos（$α+\frac{π}{3}$）•sin（$\frac{2π}{3}+α$）的值．

Answer 1

分析 由题意和平方关系求出cos（$\frac{π}{3}-α$）的值，由两角差的余弦函数表示出cos（α+$\frac{π}{3}$），分别求出由诱导公式化简cos（$α+\frac{π}{3}$）•sin（$\frac{2π}{3}+α$），并求出cos（$α+\frac{π}{3}$）•sin（$\frac{2π}{3}+α$）的值．

解答 解：由sin（$\frac{π}{3}-α$）=$\frac{1}{2}$得，cos（$\frac{π}{3}-α$）=±$\sqrt{1-si{n}^{2}（\frac{π}{3}-α）}$=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$α+\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}-（\frac{π}{3}-α）$，
∴cos（α+$\frac{π}{3}$）=cos[$\frac{2π}{3}-（\frac{π}{3}-α）$]
=cos$\frac{2π}{3}$cos（$\frac{π}{3}-α$）+sin$\frac{2π}{3}$sin（$\frac{π}{3}-α$）
当cos（$\frac{π}{3}-α$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，cos（$α+\frac{π}{3}$）=$-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}$=0，
∴cos（$α+\frac{π}{3}$）•sin（$\frac{2π}{3}+α$）
=cos（α+$\frac{π}{3}$）•sin（π-$\frac{π}{3}$+α）
=cos（α+$\frac{π}{3}$）•sin（$\frac{π}{3}$-α）=0；
当cos（$\frac{π}{3}-α$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，cos（$α+\frac{π}{3}$）=$-\frac{1}{2}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cos（$α+\frac{π}{3}$）•sin（$\frac{2π}{3}+α$）
=cos（α+$\frac{π}{3}$）•sin（$\frac{π}{3}$-α）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
综上可得，cos（$α+\frac{π}{3}$）•sin（$\frac{2π}{3}+α$）的值是0或$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查平方关系、诱导公式，两角差的余弦函数，注意角之间的关系，考查化简、变形能力，属于中档题．