【题目】试求正数的最大值,使得点集一定被包含于另一个点集,且对任何,都有之中.
【答案】
【解析】
集即为由直线确定的上半平面的交集(不同,相对应的上半平面一般也不同,但所有的这种上半平面有公共部分即交集;另外,可以规定上半平面也包含了这条直线).而半径为的圆的圆心到直线的距离为.
由题意知,应满足.故的最大值是的最小值.
而
,
等号成立当且仅当,即时成立.
故.
另解:把等价地改写为.
令,则.
下而分两种情形讨论的情况:
(1)若对称轴或即或)时,
只须当时有,
即(或). ①
(2)若对称轴,即时,只须判别式,
即. ②
以上的①和②刻画了集①和②}.
设圆与抛物线相切,消去得,即.
令其判别式得,解得.
此时,.
而点到直线的距离为(如图),
故由上述结果可知.(不能再大,否则越出的区域).
注:区域是图中的阴影部分.
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【题目】为庆祝党的98岁生日,某高校组织了“歌颂祖国,紧跟党走”为主题的党史知识竞赛。从参加竞赛的学生中,随机抽取40名学生,将其成绩分为六段,,,,,,到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值及样本的中位数与众数;
(2)若从竞赛成绩在与两个分数段的学生中随机选取两名学生,设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于分为事件,求事件发生的概率.
(3)为了激励同学们的学习热情,现评出一二三等奖,得分在内的为一等奖,得分在内的为二等奖, 得分在内的为三等奖.若将频率视为概率,现从考生中随机抽取三名,设为获得三等奖的人数,求的分布列与数学期望.
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【题目】已知抛物线的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,以点F为圆心且过点A的圆M与x轴正半轴交于点B,AB的延长线交C于点D,AF的延长线交C于点E.
(1)若点A的纵坐标为4,求圆M的方程;
(2)若线段AD的中点为G,求证:轴;
(3)的面积是否存在最小值?若存在,请求出此最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】(1)已知两个变量线性相关,若它们的相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1.
(2)线性回归直线必过点;
(3)对于分类变量A与B的随机变量,越大说明“A与B有关系”的可信度越大.
(4)在刻画回归模型的拟合效果时,残差平方和越小,相关指数的值越大,说明拟合的效果越好.
(5)根据最小二乘法由一组样本点,求得的回归方程是,对所有的解释变量,的值一定与有误差.
以上命题正确的序号为____________.
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【题目】平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.且曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程以及曲线的直角坐标方程;
(2)若点的极坐标为,直线与曲线交于两点,求的值
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【题目】有2002名运动员,号码依次为.从中选出若干名运动员参加仪仗队,但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积.那么,被选为仪仗队的运动员至少能有多少人?给出你的选取方案,并简述理由.
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【题目】秉持“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念,为推动新能源汽车产业迅速发展,有必要调查研究新能源汽车市场的生产与销售.下图是我国某地区年至年新能源汽车的销量(单位:万台)按季度(一年四个季度)统计制成的频率分布直方图.
(1)求直方图中的值,并估计销量的中位数;
(2)请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销售量(同一组数据用该组中间值代表),并以此预计年的销售量.
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【题目】如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的左视图、俯视图、直观图,在直观图中,M是BD的中点,左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.
(Ⅰ)求该几何体的表面积和体积;
(Ⅱ)求点C到平面MAB的距离.
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【题目】某书店刚刚上市了《中国古代数学史》,销售前该书店拟定了5种单价进行试销,每种单价(元)试销l天,得到如表单价(元)与销量(册)数据:
单价(元) | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
销量(册) | 61 | 56 | 50 | 48 | 45 |
(l)根据表中数据,请建立关于的回归直线方程:
(2)预计今后的销售中,销量(册)与单价(元)服从(l)中的回归方程,已知每册书的成本是12元,书店为了获得最大利润,该册书的单价应定为多少元?
附:,,,.
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