Question

设f（x）=e^x-a（x+1）（e是自然对数的底数，e=2.71828…），且f′（0）=0．
（1）求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=f（x）-f（-x），对任意x₁、x₂∈R（x₁≠x₂），恒有

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＞m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导，再代入，求出a的值，再根据导数和函数单调性的关系，求出单调区间，
（2）由题意构造函数F（x）=g（x）-mx，则F（x）在R上单调递增，根据基本不等式求出函数的最值，即可得到m的取值范围

解答： （1）解：f'（x）=e^x-a，
∵f'（0）=1-a=0，
∴a=1           （2分）
令f'（x）=e^x-1＞0得：x＞0；
令f'（x）=e^x-1＜0得：x＜0      （4分）
∴f （x）的单调递增区间为（0，+∞）；单调递减区间为（-∞，0）（6分）
（2）解：∵

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＞m
∴当x₁＜x₂时，有：g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁
当x₁＞x₂时，有：g（x₁）-mx₁＞g（x₂）-mx₂（8分）
令F（x）=g（x）-mx，则F（x）在R上单调递增           （9分）
∴F'（x）=g'（x）-m≥0，即m≤g'（x）在R上恒成立           （10分）
而g'（x）=f'（x）+f'（-x）=e^x+e^-x-2≥0（当且仅当x=0时取“=”）
∴m≤0．                             （12分）

点评：本题考查利用导数求函数的最值及其应用，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的灵活运用．