Question

【题目】设f（x）= （a＞0，b＞0）．
（1）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（2）设f（x）是奇函数，求a与b的值；
（3）在（2）的条件下，试证明函数f（x）的单调性，并解不等式f（1﹣m）+f（1+m2）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=b=1时，f（x）= = ，∴ ， ，

所以，f（﹣1）≠﹣f（1），∴f（x）不是奇函数

（2）解：若f（x）是奇函数时，f（﹣x）=﹣f（x），即 =﹣ 对定义域内任意实数x成立．

化简整理得（2a﹣b）22x+（2ab﹣4）2x+（2a﹣b）=0，这是关于x的恒等式，

∴ ，∴ ，或 ．

经检验， 符合题意

（3）解： ，

在定义域中任取两个实数x1、x2，且x1＜x2，则 ，

∵x1＜x2，∴ ，从而f（x1）﹣f（x2）＞0，∴函数f（x）在R上为单调减函数．

∴f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，即 f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2），∴f（1﹣m）＜f（m2﹣1），

∴1﹣m＞m2﹣1，求得﹣2＜m＜1，∴原不等式的解集为（﹣2，1）

【解析】（1）举反例，根据f（﹣1）≠﹣f（1），可得f（x）不是奇函数．（2）根据f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，求得a与b的值．（3）在定义域中任取两个实数x1、x2 ， 且x1＜x2 ， 求得f（x1）＞f（x2），可得函数f（x）在R上为单调减函数．化简不等式为f（1﹣m）＜f（m2﹣1），
可得 1﹣m＞m2﹣1，由此求得原不等式的解集．
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法和函数的奇偶性，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称即可以解答此题．