Question

已知动点P对应的复数z满足|z+c|+|z-c|=2a（a＞c＞0），且点P与点A（-a，0），B（a，0）连线的斜率之积为-

1

2

，则

c

a

等于（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  2

  2

• C、

  1

  2

• D、

  3

  3

Answer 1

分析：由已知结合椭圆的定义得P的轨迹方程，设出动点P的坐标，代入椭圆方程，结合点P与点A（-a，0），B（a，0）连线的斜率之积为-

1

2

，得到a与b的关系，再结合b²=a²-c²求解

c

a

的值．

解答：解：∵动点P对应的复数z满足|z+c|+|z-c|=2a（a＞c＞0），
∴动点P的轨迹为复平面内的椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1．
设P（x₀，y₀），则

x02

a2

+

y02

b2

=1  ①，
由点P与点A（-a，0），B（a，0）连线的斜率之积为-

1

2

，得

y0

x0+a

•

y0

x0-a

=-

1

2

  ②，
联立①②得：a²=2b²，
又b²=a²-c²，
∴a²=2（a²-c²），
解得：

c

a

=

2

2

．
故选：B．

点评：本题考查了复数的代数表示法和几何意义，考查了椭圆的几何性质，体现了整体运算思想方法，是中档题．