Question

如图，设P是抛物线C₁：x²=y上的动点．过点P做圆C₂：x²+（y+3）²=1的两条切线，交直线l：y=-3于A，B两点．
（Ⅰ）求C₂的圆心M到抛物线 C₁准线的距离．
（Ⅱ）是否存在点P，使线段AB被抛物线C₁在点P处的切线平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出抛物线 C₁准线的方程，再利用点到直线距离的求法求出C₂的圆心M到抛物线 C₁准线的距离即可．
（Ⅱ）先设抛物线 C₁在点P处的切线交直线l于点D，线段AB被抛物线C₁在点P处的切线平分即为x_A+x_B=2X_D．设出过点P做圆C₂x²+（y+3）²=1的两条切线PA，PB，与直线y=-3联立，分别求出A，B，D三点的横坐标，代入x_A+x_B=2X_D．看是否能解出点P，即可判断出是否存在点P，使线段AB被抛物线C₁在点P处的切线平分．

解答：解：（Ⅰ）因为抛物线 C₁准线的方程为：y=-

1

4

，
所以圆心M到抛物线 C₁准线的距离为：|-

1

4

-（-3）|=

11

4

．
（Ⅱ）设点P的坐标为（x₀，x₀²），抛物线 C₁在点P处的切线交直线l与点D，
因为：y=x²，所以：y′=2x；
再设A，B，D的横坐标分别为x_A，x_B，x_D，
∴过点P（x₀，x₀²）的抛物线 C₁的切线的斜率k=2x₀．
过点P（x₀，x₀²）的抛物线 C₁的切线方程为：y-x₀²=2x₀（x-x₀）    ①
当 x₀=1时，过点P（1，1）且与圆C₂相切的切线PA方程为：y-1=

15

8

（x-1）．可得x_A=-

17

15

，x_B=1，x_D=-1，x_A+x_B≠2x_D．
当x₀=-1时，过点P（-1，1）且与圆C₂的相切的切线PB的方程为：y-1=-

15

8

（x+1）．可得x_A=-1，x_B=

17

15

，x_D=1，x_A+x_B≠2x_D．
所以x₀²-1≠0．设切线PA，PB的斜率为k₁，k₂，
则：PA：y-x₀²=k₁（x-x₀）   ②
PB：y-x₀²=k₂（x-x₀）．③
将y=-3分别代入①，②，③得xD=

x02-3

2x0

（x₀≠0）；xA=x0-

x02+3

k1

；xB=x0-

x02+3

k2

（k₁，k₂≠0）
从而xA+xB=2x0-(x02+3)(

1

k1

+

1

k2

)．
又

|-x0k1+x02+3|

k12+1

=1，
即（x₀²-1）k₁²-2（x₀²+3）x₀k₁+（x₀²+3）²-1=0，
同理（x₀²-1）k₂²-2（x₀²+3）x₀k₂+（x₀²+3）²-1=0，
所以k₁，k₂是方程（x₀²-1）k²-2（x₀²+3）x₀k+（x₀²+3）²-1=0的两个不等的根，
从而k₁+k₂=

2(3+x0)2x0

x02-1

，k₁•k₂=

(3+x02)2-1

x02-1

，
因为x_A+x_B=2X_D．．
所以2x₀-（3+x₀²）（

1

k1

+

1

k2

）=

x02-3

x0

，即

1

k1

+

1

k2

=

1

x0

．
从而

2(3+x02)x0

(x02+3)2-1

=

1

x0

，
进而得x₀⁴=8，x0=±

4	8

．
综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为（±

4	8

，2

2

）．

点评：本题是对椭圆与抛物线，以及直线与椭圆和抛物线位置关系的综合考查．在圆锥曲线的三种常见曲线中，抛物线是最容易的，而双曲线是最复杂的，所以一般出大题时，要么是单独的椭圆与直线，要么是椭圆与抛物线，直线相结合．这一类型题目，是大题中比较有难度的题．