Question

1．设抛物线y²=2px（p＞0），M（a，0），N（b，0）是x轴正半轴上的两个顶点，过M作斜率为k₁的直线与抛物线交于A，B两点，延长AN，BN分别于抛物线交于C，D两点，若直线CD的斜率为k₂，则$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{b}{a}$．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），代入抛物线方程，运用点差法和斜率公式，设出AB的方程为x=my+a，代入抛物线方程，运用韦达定理，化简整理，即可得到所求值．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
则y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
两式相减，可得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂），
即有k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
同理可得k₂=$\frac{2p}{{y}_{3}+{y}_{4}}$，
即有$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{{y}_{3}+{y}_{4}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
设AB的方程为x=my+a，代入抛物线方程可得：
y²-2pmy-2pa=0，
即有y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-2pa，
由AC和BD与抛物线相交，可得y₁y₃=-2pb，
y₂y₄=-2pb，
即有y₃=$\frac{-2pb}{{y}_{1}}$，y₄=$\frac{-2pb}{{y}_{2}}$，
则$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{{y}_{3}+{y}_{4}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-2pb•$\frac{1}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{b}{a}$．
故答案为：$\frac{b}{a}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理和直线的斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．