分析 推导出数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,从而$\frac{1}{2{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,由此能求出$\frac{1}{{2{S_1}}}$+$\frac{1}{{2{S_2}}}$+$\frac{1}{{2{S_3}}}$+…+$\frac{1}{{2{S_{2016}}}}$的值.
解答 解:∵数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn,且点P(an,an+1)(n∈N+)在直线x-y+1=0上,
an-an+1+1=0,
∴数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,
∴Sn=n+$\frac{n(n-1)}{2}$×1=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$,
∴$\frac{1}{2{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,
∴$\frac{1}{{2{S_1}}}$+$\frac{1}{{2{S_2}}}$+$\frac{1}{{2{S_3}}}$+…+$\frac{1}{{2{S_{2016}}}}$
=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}$
=1-$\frac{1}{2017}$
=$\frac{2016}{2017}$.
故答案为:$\frac{2016}{2017}$.
点评 本题考查数列的前2016项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质和裂项求和法的合理运用.
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A. | (${\frac{1}{3}$,1) | B. | (${\frac{1}{2}$,1) | C. | (-${\frac{2}{3}$,1) | D. | ($\frac{2}{3}$,1) |
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