Question

设（a，b∈R，a＞0）。
(Ⅰ)当λ₁=1，λ₂=0时，设x₁，x₂是f(x)的两个极值点，
①如果x₁＜1＜x₂＜2，求证：f′(-1)＞3；
②如果a≥2，且x₂-x₁=2且x∈(x₁，x₂)时，函数g(x)=f′(x)+2(x-x₂)的最小值为h(a)，求h(a)的最大值；
(Ⅱ)当λ₁=0，λ₂=1时，
①求函数y=f(x)-3(ln3+1)x的最小值；
②对于任意的实数a，b，c，当a+b+c=3时，求证：3^a·a+3^b·b+3^c·c≥9。

Answer 1

解：(Ⅰ)①证明：当λ₁=1，λ₂=0时，f′(x)=a²+（b-1）x+1，
x₁，x₂是方程f′(x)=0的两个根，
由x₁＜1＜x₂＜2且a＞0得，即，
所以f′（-1）=a-b+2=-3(a+b)+(4a+2b-1)+3＞3。
②设f′（x）=a(x-x₁)(x-x₂)，所以，
易知，
所以，，
当且仅当时，即时取等号，
所以，，
易知当a=2时，h（a）有最大值，即。
(Ⅱ)①当时，，
所以，，，
容易知道，y′是单调增函数，且x=1是它的一个零点，即也是唯一的零点，
当x＞1时，y′＞0；当x＜1时，y′＜0，
故当x=1时，函数有最小值为-3ln3。
②由①知，
当x分别取a，b，c时有
，
三式相加即得。