Question

已知非零向量

a

和

b

满足

a

⊥（

a

-

b

），

b

⊥（2

a

-

b

），则

a

与

b

的夹角为（　　）

• A．

  π

  4

• B．

  3π

  4

• C．

  π

  6

• D．

  5π

  6

Answer 1

分析：先根据

a

⊥（

a

-

b

），

b

⊥（2

a

-

b

）则数量积为0，可求出|

a

|与|

b

|的关系，再根据数量积公式可求出

a

与

b

的夹角．

解答：解：∵

a

⊥（

a

-

b

），

b

⊥（2

a

-

b

），
∴

a

•（

a

-

b

）=0，

b

•（2

a

-

b

）=0，
即

a

2-

a

•

b

=0且2

a

•

b

-

b

2=0，
∴消去

a

•

b

得|

b

|=

2

|

a

|，
设

a

与

b

的夹角为θ，
则

a

2-

a

•

b

=|

a

|2-|

a

|×

2

|

a

|cosθ=0，
∵非零向量

a

，
∴cosθ=

2

2

，
∵θ∈[0，π]
∴θ=

π

4

．
故选A．

点评：本题主要考查了向量垂直的充要条件及向量的数量积公式，同时考查了运算求解的能力和消元的思想，属于基础题．