Question

3．如图，圆O内切于△ABC的边于点D，E，F，AB=AC，连结AD交圆O于点H，直线HF交BC的延长线于点G．
（1）证明：圆心O在直线AD上；
（2）若BC=6，求GC的长．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得CF=BE，CD=BD，由△ABC是等腰三角形，得AD是∠CAB的平分线，由此能证明圆心O在直线AD上．
（2）连接DF，由已知条件得∠FDH+∠FHD=90°，∠G=∠FDH，由此能求出GC的长．

解答 （1）证明：∵AB=AC，AF=AE
∴CF=BE…（2分）
又CF=CD，BD=BE，∴CD=BD…（4分）
又△ABC是等腰三角形
∴AD是∠CAB的平分线
∴圆心O在直线AD上…（6分）
（2）解：连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径
∴∠DFH=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°…（7分）
又∠G+∠FHD=90°，∴∠G=∠FDH…（8分）
∵⊙O与AC相切于点F，∴∠AFH=∠GFC=∠FDH
∴∠GFC=∠G…（10分）
∴CG=CF=CD=DB
由BC=6，得GC=2．…（12分）

点评 本题考查圆心在直线上的证明，考查线线段长的求法，正确运用圆的简单性质是关键．