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已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的右准线l2与一条渐近线l交于点P,F是双曲线的右焦点.
(Ⅰ)求证:PF⊥l;
(Ⅱ)若|PF|=
2
,且双曲线的离心率e=
3
,求该双曲线的方程;
(Ⅲ)若过点A(2,1)的直线与(Ⅱ)中的双曲线交于两点P1,P2,求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
分析:(Ⅰ)由双曲线方程求出双曲线的右准线方程和一条渐近线方程,联立求出P点的坐标,求出PF所在直线的斜率,由斜率制剂等于-1证明PF⊥l;
(Ⅱ)由(Ⅰ)中的证明可知,|PF|为F(c,0)到l:bx-ay=0距离,由点到直线的距离公式列一个关于a,b,c的关系式,再由离心率得一关系式,结合a2+b2=c2求解a,b的值,则双曲线的方程可求;
(Ⅲ)分斜率存在和不存在得到过点A的直线方程,斜率存在时把直线方程和双曲线方程联立,利用根与系数关系得到M点的参数方程,消参后即可得到答案,然后验证斜率不存在时的情况.
解答:(Ⅰ)证明:右准线为x=
a2
c
,由对称性,不妨设渐近线l为y=
b
a
x
,则P(
a2
c
ab
c
)

又F(c,0),∴kPF=
ab
c
-0
a2
c
-c
=-
a
b

又∵kl=
b
a
,∴kPFkl=-
a
b
b
a
=-1
,∴PF⊥l;
(Ⅱ)解:∵|PF|为F(c,0)到l:bx-ay=0距离,∴
|bc|
a2+b2
=
2
,即b=
2

e=
c
a
=
3
,∴
a2+b2
a2
=3
,解得a2=1.
故双曲线方程为x2-
y2
2
=1

(Ⅲ)解:设M(x,y),
当过点A的直线斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-2),
y-1=k(x-2)
x2-
y2
2
=1

可得(2-k2)x2-2k(1-2k)x-(1-2k)2-2=0.
当(2-k2)≠0,△=(1-2k)24k2+4(2-k2)[(1-2k)2+2]>0时,
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),∴x=
x1+x2
2
=
k(1-2k)
2-k2
(1)y=
y1+y2
2
=
k(x1+x2)-4k+2
2
=
2(1-2k)
2-k2
(2)
k=
1
2
时,此时M(0,0).
k≠
1
2
时,显然y≠0.此时(1)÷(2)得k=
2x
y
,将其代入(2),
y
2
=
y(y-4x)
2y2-4x2
.∵y≠0,∴有2x2-y2-4x+y=0.显然(0,0)也满足此方程.
当直线的斜率不存在时,此时直线方程为x=2,则P1P2中点为(2,0)符合上式.
综上可知,M点的轨迹方程为2x2-y2-4x+y=0.
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系,考查了双曲线的性质,直线与曲线联立,根据方程的根与系数的关系解题是处理这类问题的最为常用的方法,但圆锥曲线的特点是计算量比较大,要求考生具备较强的运算推理,是难题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线
x2
a2
-
y2
7
=1
,直线l过其左焦点F1,交双曲线的左支于A、B两点,且|AB|=4,F2为双曲线的右焦点,△ABF2的周长为20,则此双曲线的离心率e=
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且该双曲线的离心率为
5
,则该双曲线的渐近线方程为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(b>a>0)
,O为坐标原点,离心率e=2,点M(
5
3
)
在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且
OP
OQ
=0
.问:
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否为定值?若是请求出该定值,若不是请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R),则该直线过定点
(-2,1)
(-2,1)

(2)已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为y=
4
3
x,则双曲线的离心率为
5
3
5
3

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)满足
a1
b
2
 |=0
,且双曲线的右焦点与抛物线y2=4
3
x
的焦点重合,则该双曲线的方程为
 

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