Question

若正数a,b,c满足a+b+c=1,
(1)求证:≤a²+b²+c²<1.
(2)求++的最小值.

Answer 1

(1)见解析   (2)

(1)由已知易得0<a,b,c<1,则a-a²=a(1-a)>0,即a>a².
同理可得b>b²,c>c²,则a²+b²+c²<a+b+c=1,
由柯西不等式可得(a²+b²+c²)(1+1+1)≥(a+b+c)²=1(当且仅当a=b=c时取“=”),
即有a²+b²+c²≥(当a=b=c=时取“=”),
综上有≤a²+b²+c²<1.
(2)由a+b+c=1,
可得(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)=5,
且2a+1,2b+1,2c+1均为正数,
则++=(++)(2a+1+2b+1+2c+1),
由柯西不等式可得(++)(2a+1+2b+1+2c+1)
≥(++
)²=9(当且仅当a=b=c时取“=”),
故++的最小值为,
等号当且仅当a=b=c=时取到.