Question

小明家决定投资21000元在自家房屋旁建 一个形状为长方体的车库，高度恒定．车库的一个侧面利用已有的旧墙不花钱，正面用铁栅栏，每米造价500元，另一侧面与后面用砖砌墙，每米造价400元，顶部每平方米造价600元．请你帮小明家算一算：
（Ⅰ） 车库底面积S的最大允许值是多少？
（Ⅱ）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面应设计多少米？

Answer 1

解：（Ⅰ）设正面设计为x米，侧面为y米，依题意得500x+400（x+y）+600xy=21000（2分）
即（当9x=4y时取等号）
又S=xy，∴，，
解得，即S≤25；因而S的最大允许值为25平方米． （8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当S=xy=25时，9x=4y，解得，
即上面铁栅栏的宽度为米． （12分）
分析：（1）设正面设计为x米，侧面为y米，依题意得500x+400（x+y）+600xy=21000，由，得 的取值范围，即可求出S=xy的取值范围；
（2）由xy=25，9x=4y，解得x，y的值即可求出正面应设计多少米．
点评：本题考查了长方体模型的应用，在求面积S=xy最值时，利用基本不等式a+b≥2 （a＞0，b＞0）．