Question

4．（1）已知0＜x＜y＜3，求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y-x}+\frac{1}{3-y}$的最小值
（2）若0＜x＜y＜a，不等式$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{{{{（y-x）}^2}}}+\frac{1}{{{{（a-y）}^2}}}$≥9恒成立，求a的最大值．

Answer 1

分析 分别根据柯西不等式，即可求出，注意等号成立的条件．

解答 解：（1）由柯西不等式（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y-x}+\frac{1}{3-y}$）[x+（y-x）+（3-y）]≥9，
即$\frac{1}{x}+\frac{1}{y-x}+\frac{1}{3-y}≥3$，
∴当x=1，y=2时，$\frac{1}{x}+\frac{1}{y-x}+\frac{1}{3-y}$的最小值是3；  
（2）由柯西不等式$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{{{{（y-x）}^2}}}+\frac{1}{{{{（a-y）}^2}}}≥\frac{1}{3}$${（\frac{1}{x}+\frac{1}{y-x}+\frac{1}{a-y}）^2}$，
∵$（\frac{1}{x}+\frac{1}{y-x}+\frac{1}{a-y}）（x+y-x+a-y）≥9$，
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y-x}+\frac{1}{a-y}≥\frac{9}{a}$，
∴$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{{{{（y-x）}^2}}}+\frac{1}{{{{（a-y）}^2}}}$的最小值是$\frac{27}{a^2}$，
（当$x=\frac{a}{3}，y=\frac{2a}{3}$时取到最小值）由题意$\frac{27}{a^2}≥9$，$a≤\sqrt{3}$，
a的最大值是$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了柯西不等式，灵活变形是关键，属于中档题．