Question

如图（1），四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD，如图（2）．
（I）求证：平面PBC⊥平面PDC；
（II）在折叠前的四边形ABCD中，作AE⊥BD于E，过E作EF⊥BC于F，求折起后的图形中∠PFE的正切值．

Answer 1

分析：（I）利用折叠前四边形ABCD中的性质与数量关系，可证BD⊥CD，再利用折叠后BCD平面PBD⊥平面，可证CD⊥平面PBD，从而证明CD⊥PB，
再证明PB⊥平面PDC，然后利用线面垂直证明面面垂直．
（II）利用（1）证明PE⊥平面BCD，从而证明PE⊥EF，再通过解Rt△BEF，求EF，然后解Rt△PEF求tan∠PFE的值．

解答：解：（I）证明：折叠前，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BAD=90°，∴△ABD为等腰直角三角形．
又∵∠BCD=45°，∠DBC=45°，∴∠BDC=90°．
  折叠后，∵平面BCD⊥平面PBD，CD⊥BD，
∴CD⊥平面PBD．
又∵PB?平面PBD，∴CD⊥PB．
又PB⊥PD，PD∩CD=D，
∴PB⊥平面PDC．又PB?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PDC．
（II）∵AE⊥BD，EF⊥BC，折叠后的位置关系不变，∴PE⊥BD．
又平面PBD⊥平面BCD，∴PE⊥平面BCD，∴PE⊥EF．
设AB=AD=a，则BD=

2

a，∴PE=

2

2

a=BE．
在Rt△BEF中，EF=BE•sin45°=

2

2

a×

2

2

=

1

2

a．
在Rt△PEF中，tan∠PFE=

PE

EF

=

2 2 a

1 2 a

=

2

．

点评：本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了线面垂直的性质与判定，综合性强，关键是利用好直线与平面，平面与平面垂直关系的转化．