Question

设x，y满足约束条件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则（a²+b²）-10（a+b）的最小值为（　　）

• A、-32
• B、-33
• C、-34
• D、-35

Answer 1

考点：简单线性规划的应用

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，求出a，b的关系式，再利用基本不等式和二次函数的性质求出答案．

解答： 解：满足约束条件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

的区域是一个四边形，如下图
4个顶点是（0，0），（0，2），（

1

2

，0），（1，4），
由图易得目标函数在（1，4）取最大值8，
即8=ab+4，∴ab=4，
∴a+b≥2

ab

=4，在a=b=2时是等号成立，
令t=a+b，则t≥4．
∴（a²+b²）-10（a+b）=（a+b）²-10（a+b）-2ab=t²-10t-8，
由y=t²-10t-8的图象是开口朝上，且以t=5为对称轴的抛物线，
故当t=5时，t²-10t-8取最小值-33，
故选：B

点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．