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    证明：1+
    1
    1!
    +
    1
    2!
    +…+
    1
    n!
    -
    3
    2n
    ＜（1+
    1
    n
    ）n＜1+
    1
    1!
    +
    1
    2!
    +
    1
    3!
    +…+
    1
    n!
    ．
    考点：不等式的证明
    专题：不等式的解法及应用,概率与统计
    分析：利用二项式定理展开、组合数的计算公式进行放缩即可证明．
    解答： 证明：先证明右边不等式：(1+
    1
    n
    )n    =
    n
    k=0
    ∁
    k
    n
    (
    1
    n
    )k    =
    n
    k=0
    1
    k!
    •
    n(n-1)…(n-k+1)
    nk

    =1+1+
    1
    2!
    (1-
    1
    n
    )    +…+
    1
    n!
    (1-
    1
    n
    )(1-
    2
    n
    )…(1-
    n-1
    n
    )
    ＜1+1+
    1
    2!
    +…+
    1
    n!
    ，（n≥2）．
    证明左边不等式：(1+
    1
    n
    )n    =
    n
    k=0
    ∁
    k
    n
    (
    1
    n
    )k    =
    n
    k=0
    1
    k!
    •
    n(n-1)…(n-k+1)
    nk

    =1+1+
    1
    2!
    (1-
    1
    n
    )    +…+
    1
    n!
    (1-
    1
    n
    )(1-
    2
    n
    )…(1-
    n-1
    n
    )
    ＞1+1+
    1
    2！
    -
    1
    2n
    +
    1
    3!
    -
    1
    2!n
    +…+
    1
    n!
    -
    1
    n!
    •
    n-1
    2

    ＞1+1+
    1
    2!
    +…+
    1
    n!
    -
    3
    2n
    ．
    综上可得：1+
    1
    1!
    +
    1
    2!
    +…+
    1
    n!
    -
    3
    2n
    ＜（1+
    1
    n
    ）n＜1+
    1
    1!
    +
    1
    2!
    +
    1
    3!
    +…+
    1
    n!
    ．（n≥2）．
    点评：本题考查了二项式定理展开、组合数的计算公式进行放缩，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
    练习册系列答案
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    2
    x
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    A、y=
    2
    (
    		x
    )    2
    B、y=
    2
    3x3
    C、y=
    2
    		x2
    D、y=
    2(
    		x
    )    4
    x3

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    ．

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    		3
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    若数列{an}的前n项和Sn=
    1
    3
    an+
    2
    3
    ，则{an}的前5项和S5=
     
    ．

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    一个游戏盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6：2：1：4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为
     
    ．

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