Question

12．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C₁的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ+1=0，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{2}{\sqrt{5}}t}\\{y=\frac{1}{\sqrt{5}}t}\end{array}\right.$（t为参数）
（Ⅰ）若曲线C₁与C₂的交点为A，B，求|AB|；
（Ⅱ）已知点M（ρ，θ）在曲线C₁上，求ρ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求了曲线C₁和C₂的普通方程，再求出圆心为到直线的距离，由此利用勾股定理能求出曲线C₁与C₂的交点弦的弦长．
（Ⅱ）曲线C₁是圆心为C₁（1，1），半径r=1的圆，设M（1+cosα，1+sinα），0≤α＜2π，由$ρ=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，利用三角函数的性质能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C₁的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ+1=0，
∴曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²-2x-2y+1=0，则圆心为C₁（1，1），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4-4}$=1的圆，
∵曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{2}{\sqrt{5}}t}\\{y=\frac{1}{\sqrt{5}}t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴曲线C₂的普通方程为x+2y-2=0，
圆心为C₁（1，1）到直线的距离d=$\frac{|1+2-2|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
又曲线C₁与C₂的交点为A，B，
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
（Ⅱ）∵曲线C₁是圆心为C₁（1，1），半径r=1的圆，
∴设M（1+cosα，1+sinα），0≤α＜2π，
∵M（ρ，θ），
∴$ρ=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（1+cosα）^{2}+（1+sinα）^{2}}$=$\sqrt{3+2sinα+2cosα}$=$\sqrt{3+2\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，
∴ρ的取值范围是[$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$，$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$]．

点评 本题考查曲线相交弦的弦长的求法，考查点的极径范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意参娄投影仪程式和普通方程的互化、极坐标的性质、三角函数性质、点到直线距离公式等知识点的合理运用．