Question

已知：f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）在其定义域内的单调性；
（3）若f（x）在（1，+∞）内恒为正，试比较a-b与1的大小．

Answer 1

分析：（1）由对数的真数大于零得，a^x-b^x＞0，再由a＞1＞b＞0和指数函数的性质，求出不等式解集即函数的定义域；
（2）先在定义域任取两个自变量，即x₂＞x₁＞0，利用指数函数的性质比较对应真数的大小，再根据y=lgx在定义域上是增函数，得出f（x₂）与f（x₁）的大小，判断出此函数的单调性；
（3）根据（2）证出的函数单调性，求出此区间内的函数的最小值f（1），只要f（1）≥0成立即可，代入函数解析式，利用lg1=0判断a-b与1的大小．

解答：解：（1）要使函数有意义，则a^x-b^x＞0，∴(

a

b

)x＞1，
∵

a

b

＞1，∴x＞0，∴f（x）的定义域为（0，+∞）．
（2）设x₂＞x₁＞0，∵a＞1＞b＞0，
∴ax2＞ax1，bx1＞bx2，则-bx2＞-bx1，
∴ax2-bx2＞ax1-bx1＞0，∴

ax2-bx2

ax1-bx1

＞1．
∵函数y=lgx在定义域上是增函数，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）是增函数．
（3）由（2）知，函数f（x）在（0，+∞）是增函数，
∴f（x）在（1，+∞）是增函数，即有f（x）＞f（1），
要使f（x）＞0恒成立，必须函数的最小值f（1）≥0，
即lg（a-b）≥0=lg1，则a-b≥1．

点评：本题是关于对数型复合函数的综合题，根据真数大于零求函数的定义域，判断函数的单调性即比较真数的大小，对于恒成立问题，就是由函数的单调性求出在区间上的最值．