Question

如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点C、F，连接CF并延长交AB于点E．
 
(Ⅰ)求证：E是AB的中点。
(Ⅱ)求线段BF的长．

Answer 1

(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ)a

解析试题分析：(Ⅰ) 由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，所以DA⊥AE，所以EA为圆D的切线，依据切割线定理，得EA²=EF•EC，又圆O以BC为直径，所以OB⊥BE，所以EB是圆O的切线，同样依据切割线定理得EB²=EF•EC，故AE=EB，E是AB中点．
(Ⅱ)根据两个角对应相等，得到两个三角形相似，得到对应边成比例，根据所给的长度，代入比例式，得到要求的线段。
试题解析：(Ⅰ)由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线，
依据切割线定理，得EA²=EF•EC （2分）
另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，
同样依据切割线定理得EB²=EF•EC （4分）
故AE=EB，故E是AB中点 （5分）
 
(Ⅱ)连接BF，∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB
∴△FEB∽△BEC，得，
∵ABCD是边长为a的正方形，
所以BF＝a              （10分）
考点：切割线定理，三角形相似的判定与性质，弦切角定理