Question

（1）解方程：log₂（9^x-5）=log₂（3^x-2）+2；
（2）已知：0≤x＜2π，解方程：cos2x=cosx（sinx+|sinx|）．

Answer 1

解：（1）∵log₂（9^x-5）=log₂（3^x-2）+2，∴log₂（9^x-5）=log₂[4（3^x-2）]，∴9^x-5=4•3^x-8，
即（3^x）²-4•3^x+3=0解得：3^x=3 或 3^x=1，故 x₁=1，x₂=0．
经检验：x=1是原方程的根．
（2）由已知0≤x＜2π，
①当0≤x≤π时，sinx≥0，cos2x=cosx（sinx+|sinx|）可化为：cos2x=sin2x，tan2x=1，∴或=．
②当π＜x＜2π时，sinx＜0，cos2x=cosx（sinx+|sinx|）可化为：cos2x=0，∴或．
综上：原方程的解集为．
分析：（1）由方程 9^x-5=4•3^x-8，即（3^x）²-4•3^x+3=0解得：3^x=3 或 3^x=1，由此解指数方程求得x的值，注意验根．
（2）①当0≤x≤π时，sinx≥0，方程化为 tan2x=1，求得x的值．②当π＜x＜2π时，sinx＜0，方程化为cos2x=0，求得x的值．所有的x值组成的集合就是所求．
点评：本题主要考查对数函数的定义域，对数方程的解法，根据三角函数的值求角，体现了等价转化和分类讨论的数学思想．