Question

某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=200米，BC=100米．现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,解三角形

分析：设正三角形DEF的边长为a、∠CEF=α且∠EDB=∠1，将CF和AF用a、α表示出，再用α分别分别表示出∠1和∠ADF，然后利用正弦定理表示a并结合辅角公式化简，利用正弦函数的值域即可求得a的最小值．

解答： 解：设正△DEF的边长为a，∠CEF=α
则CF=a•sinα，AF=

3

-a•sinα
设∠EDB=∠1，可得
∠1=180°-∠B-∠DEB=120°-∠DEB，α=180°-60°-∠DEB=120°-∠DEB
∴∠ADF=180°-60°-∠1=120°-α
在△ADF中，

a

sin30°

=

3 -asinα

sin∠ADF

，
化简得a[2sin（120°-α）+sinα]=

3

∴a=

3

2sinα+ 3 cosα

=

3

7 sin(α+φ)

≥

21

7

（其中φ是满足tanφ=

3

2

的锐角）
∴△DEF边长最小值为

21

7

．

点评：本题着重考查了解直角三角形、正弦定理和三角恒等变换等知识，考查了在实际问题中建立三角函数模型能力，属于中档题．