精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知直线y=-2上有一个动点Q,过Q作直线l垂直于x轴,动点P在直线l上,且
OP
OQ
,记点P的轨迹为C1
(1)求曲线C1的方程;
(2)设直线l与x轴交于点A,且
OB
=
PA
(
OB
≠0)
,试判断直线PB与曲线C1的位置关系,并证明你的结论;
(3)已知圆C2:x2+(y-a)2=2,若C1、C2在交点处的切线相互垂直,求a的值.
(1)设点P的坐标为(x,y),则Q(x,-2),
OP
OQ
OP
OQ
=0
…(2分)
∴x2-2y=0,
当x=0时,P、O、Q三点共线,不符合题意,故x≠0.
∴曲线C的方程为x2=2y(x≠0).
(2)设点P的坐标(x0,y0),∴A(x0,0)∵
OB
=
PA
OB
=(0,-y0)

OB
≠0
∴直线PB的斜率k=
2y0
x0
…(5分)
∵x02=2y0∴k=x0∴直线PB的方程为y=x0x-y0…(6分)
代入x2=2y得x2-2x0x+2y0=0,∵△=4x02-8y0=0
∴直线PB与曲线C1相切.…(7分)
(3)不妨设C1、C2的一个交点为N(x1,y1),C1的方程为y=
1
2
x2

则在C1上N点处切线的斜率为y′=x1.C2上过N点的半径的斜率为k=
y1-a
x1

x1=
y1-a
x1

y1=
1
2
x12
,得y1=-a,x12=-2a…(10分)
∵N(x1,y1)在圆C2上,∴-2a+4a2=2,∴a=-
1
2
或a=1
∵y1>0∴a<0,∴a=-
1
2
…(12分)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线y=-2上有一个动点Q,过点Q作直线l1垂直于x轴,动点P在l1上,且满足OP⊥OQ(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若直线l2是曲线C的一条切线,当点(0,2)到直线l2的距离最短时,求直线l2的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线y=-2上有一个动点Q,过Q作直线l垂直于x轴,动点P在直线l上,且
OP
OQ
,记点P的轨迹为C1
(1)求曲线C1的方程;
(2)设直线l与x轴交于点A,且
OB
=
PA
(
OB
≠0)
,试判断直线PB与曲线C1的位置关系,并证明你的结论;
(3)已知圆C2:x2+(y-a)2=2,若C1、C2在交点处的切线相互垂直,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线y=-2上有一个动点Q,过Q作直线l垂直于x轴,动点P在直线l上,且,记点P的轨迹为C1.

(1)求曲线C1的方程.

(2)设直线l与x轴交于点A,且=(≠0).试判断直线PB与曲线C1的位置关系,并证明你的结论.

(3)已知圆C2:x2+(y-a)2=2,若C1、C2在交点处的切线互相垂直,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

已知直线y=-2上有一个动点Q,过点Q作直线l1垂直于x轴,动点P在l1上,且满足OP⊥OQ(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若直线l2是曲线C的一条切线,当点(0,2)到直线l2的距离最短时,求直线l2的方程.

查看答案和解析>>

同步练习册答案