Question

16．已知函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+m}{{2}^{x+1}+n}$（其中m，n为参数）
（1）当m=n=1时，证明：f（x）不是奇函数：
（2）如果f（x）是奇函数，求实数m，n的值：

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义得到f（-1）≠-f（1），进行排除即可．
（2）根据函数奇偶性的定义建立方程f（-x）=-f（x）进行求解即可．

解答 解：（1）证明：当m=n=1时，f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+1}$．
则f（1）=$\frac{-2+1}{4+1}$=$-\frac{1}{5}$，f（-1）=$\frac{-\frac{1}{2}+1}{1+1}=\frac{\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{1}{4}$，
则f（-1）≠-f（1），即f（x）不是奇函数：
（2）如果f（x）是奇函数，
则f（-x）=-f（x），则$\frac{-{2}^{-x}+m}{{2}^{-x+1}+n}$=-$\frac{-{2}^{x}+m}{{2}^{x+1}+n}$=$\frac{m•{2}^{x}-1}{2+n•{2}^{x}}$，
即（2+n•2^x）（2^x-m）=（m•2^x-1）（2^x+1+n），
即2^x+1-2m+n•（2^x）²-mn•2^x=m•2^x2^x+1+mn2^x-2^x+1-n，
即（2-mn）2^x+n2^2x-2m=2m2^2x+（mn-2）2^x-n．
则$\left\{\begin{array}{l}{2-mn=mn-2}\\{n=2m}\\{2m=n}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{mn=2}\\{n=2m}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-2}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断和奇偶性的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．考查学生的运算能力．