Question

【题目】已知定义在R上的函数f（x）=2x﹣ ．
（1）若f（x）= ，求x的值；
（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意：f（x）=2x﹣ 定义在R上的函数，

∴

当x≤0时，f（x）=0，无解

当x＞0时，f（x）=2x﹣ ，

由f（x）= ，即：2x﹣ = ，

化简：222x﹣32x﹣2=0

因式分解：（2x﹣2）（22x+2）=0

解得：解得2x=2或2x=﹣ ，

∵2x＞0，

故：x=1

（2）解：当t∈[1，2]时，

f（2t）= ，f（t）=

那么： （ ）≥0

整理得：m（22t﹣1）≥﹣（24t﹣1）

∵22t﹣1＞0，∴m≥﹣（22t+1）恒成立即可．

∵t∈[1，2]，∴﹣（22t+1）∈[﹣17，﹣5]．

要使m≥﹣（22t+1）恒成立，只需m≥﹣5

故：m的取值范围是[﹣5，+∞）

【解析】（1）化简f（x）去掉绝对值，直接进行带值计算即可．（2）求出f（2t），f（t）带入，构造指数函数，利用指数函数的图象及性质对t∈[1，2]恒成立求解．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能正确解答此题．