【题目】设椭圆的左、右焦点分别为
,右顶点为
,上顶点为
,已知
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段
为直径的圆经过点
,经过原点
的直线
与该圆相切,求直线
的斜率.
【答案】(1);(2)
或
.
【解析】
试题分析:(1)设椭圆右焦点的坐标为
,由
,可得
,又
,即可求解椭圆的离心率;(2)由(1)知
,得到椭圆的方程为
,设出点
,可得
,进而得到
,由于点
在椭圆上,联立得到
,解得
,利用中点公式和两点间的距离公式,利用直线与圆相切的性质即可得出结论.
试题解析:(1)设椭圆右焦点的坐标为
,由
,可得
.
又,则
,所以椭圆的离心率
.
(2)由(1)知,故椭圆的方程为
,
设,由
,有
,
由已知,有,即
,又
,故有
. ①
又因为点在椭圆上,所以
.②
由 ①和②可得,而点
不是椭圆的顶点,故
,
代人①得,即点
的坐标为
,设圆的圆心为
,
则,进而圆的半径
,
设直线的斜率为
,依题意,直线
的方程
.由
与圆相切,可得
,
即,整理得
,解得
,
所以直线的斜率为
或
.
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系,以
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,
点的极坐标为
,曲线
的参数方程为
(
为参数).
(1)写出点的直角坐标及曲线
的直角坐标方程;
(2)若为曲线
上的动点,求
中点
到直线
的距离的最小值.
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【题目】为了保护环境,2015年合肥市胜利工厂在市政府的大力支持下,进行技术改进:把二氧化碳转化为某种化工产品,经测算,该处理成本(万元)与处理量
(吨)之间的函数关系可近似地表示为:
且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品.
(1)当时,判断该技术改进能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,则国家至少需要补贴多少万元,该工厂才不亏损?
(2)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少?
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,离心率为
,点
为坐标原点,若椭圆
与曲线
的交点分别为
(
下
上),且
两点满足
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆上异于其顶点的任一点
,作
的两条切线,切点分别为
,且直线
在
轴、
轴上的截距分别为
,证明:
为定值.
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【题目】某城市有一直角梯形绿地,其中
,
km,
km.现过边界
上的点
处铺设一条直的灌溉水管
,将绿地分成面积相等的两部分.
(1)如图①,若为
的中点,
在边界
上,求灌溉水管
的长度;
(2)如图②,若在边界
上,求灌溉水管
的最短长度.
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【题目】为了在冬季供暖时减少能量损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层,某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元,该建筑物每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度
(单位:
)满足关系:
,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设
为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求的值及
的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用达到最小,并求最小值.
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【题目】某单位每天的用电量(度)与当天最高气温
(℃)之间具有线性相关关系,下表是该单位随机统计4天的用电量与当天最高气温的数据.
最高气温(℃) | 26 | 29 | 31 | 34 |
用电量 (度) | 22 | 26 | 34 | 38 |
(Ⅰ)根据表中数据,求出回归直线的方程(其中
);
(Ⅱ)试预测某天最高气温为33℃时,该单位当天的用电量(精确到1度).
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