Question

4．（1）若抛物线的焦点在y轴上，点 A（m，-2）在抛物线上，且|AF|=3，求抛物线的标准方程及△O AF的面积．
（2）以椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的长轴短点为焦点，且经过（3，$\sqrt{10}$）的双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）先假设抛物线的方程，利用点 A（m，-2）在抛物线上，且|AF|=3，建立方程，即可求得m的值，即可求抛物线的标准方程及△OAF的面积．
（2）双曲线的焦点坐标为（±2$\sqrt{2}$，0），利用双曲线经过（3，$\sqrt{10}$），可得2a=|$\sqrt{（3+2\sqrt{2}）^{2}+10}$-$\sqrt{（3-2\sqrt{2}）^{2}+10}$|=2$\sqrt{3}$，求出a，b，即可求出双曲线的标准方程．

解答 解：（1）依题意，设抛物线方程为x²=-2py （p＞0）
∵点 A（m，-2）在抛物线上，且|AF|=3，
∴$\frac{p}{2}$+2=3，∴p=2，
∴抛物线方程为x²=-4y．
A（m，-2）代入可得m=±2$\sqrt{2}$，
∴△OAF的面积S=$\frac{1}{2}×1×2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
（2）由题意，双曲线的焦点坐标为（±2$\sqrt{2}$，0），
∵双曲线经过（3，$\sqrt{10}$），
∴2a=|$\sqrt{（3+2\sqrt{2}）^{2}+10}$-$\sqrt{（3-2\sqrt{2}）^{2}+10}$|=2$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$，
∴b=$\sqrt{5}$，
∴双曲线的标准方程$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

点评 本题考查的重点是抛物线、双曲线的标准方程，解题的关键是利用抛物线、双曲线的定义合理转化，属于中档题．