Question

2．已知定义在R上的函数f（x）满足任意x，y∈R恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0
（1）求证：f（x）是奇函数．
（2）求证：f（x）在R上为减函数．
（3）若f（-1）=2，求f（x）在[-2，4]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可得f（0）的值令y=-x，可得f（x）与f（-x）的关系，知f（x）的奇偶性；
（2）用定义判定f（x）的单调性；
（3）利用f（x）的单调性与奇偶性，可得函数f（x）在[-2，4]的最大值和最小值

解答 证明：（1）∵对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，则有f（0）=f（0）+f（0）；
∴f（0）=0；
令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是定义域R上的奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈R，设x₁＜x₂，
则有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）是R上的减函数；
（3）∵f（-1）=2，
∴f（-2）=4，
f（2）=-4，f（4）=-8
∵f（x）是R上的减函数；
∴f（x）在[-2，4]的最大值为4，最小值为-8

点评 本题考查了函数的单调性与奇偶性的判定以及应用问题，是中档题．