Question

若数列{A_n}满足A_n+1=A

2 n

，则称{A_n}是“平方递推数列”，数列{x_n}、{y_n}满足x₁=3，以（x_n，x_n+1）为坐标的点在函数f（x）=3x²+2x的图象上，以（x_n，y_n）为坐标的点在直线y=3x+1上．
（Ⅰ）求证：数列{y_n}是“平方递推数列”；
（Ⅱ）设数列{y_n}的前n项之积为T_n，令z_n=log ynT_n，求数列{z_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意列出方程组

xn+1=3xn2+2xn yn+1=3xn+1+1

，转化为关于y_n+1与y_n的关系式得答案；
（Ⅱ）求出y₁=3x₁+1=10，结合yn+1=yn2得到{lgy_n}是首项为1、公比为2的等比数列．由z_n=log ynT_n求得z_n，作和后得答案．

解答： （Ⅰ）证明：依题意

xn+1=3xn2+2xn yn+1=3xn+1+1

，
∴yn+1=9xn2+6xn+1=(3xn+1)2，
又y_n=3x_n+1，
∴yn+1=yn2．
∴{y_n}是平方递推数列；
（Ⅱ）解：∵y₁=3x₁+1=10，yn+1=yn2，
∴y_n＞0．
∴lgy₁=1，lgy_n+1=2lgy_n．
∴{lgy_n}是首项为1、公比为2的等比数列．
则lgyn=2n-1．
∴zn=logynTn=

lgTn

lgyn

=

n k=1 lgyk

lgyn

=

2n-1

2n-1

=2-

1

2n-1

．
∴Sn=

n

k=1

zk=

n

k=1

(2-

1

2k-1

)=2n-2(1-

1

2n

)=2n-2+

1

2n-1

．

点评：本题考查了数列的函数特性，考查了数列递推式，考查了对数的运算性质，是中档题．