Question

8．已知抛物线${y^2}=\frac{2}{3}x$的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
（1）若$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，求直线AB的斜率；
（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设直线$AB：x=my+\frac{1}{6}$，将直线AB与抛物线联立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理业绩向量关系，求解直线的斜率即可．
（2）利用三角形的面积公式以及弦长公式，结合二次函数的性质求解函数的最小值即可．

解答 （12分）解：（1）依题意可设直线$AB：x=my+\frac{1}{6}$，
将直线AB与抛物线联立$\left\{\begin{array}{l}x=my+\frac{1}{6}\\{y^2}=\frac{2}{3}x\end{array}\right.$⇒9y²-6my-1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理得$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=\frac{2}{3}m\\{y_1}{y_2}=-\frac{1}{9}\end{array}\right.$
∵$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}⇒{y_1}=-3{y_2}$，$⇒{m^2}=\frac{1}{3}$，
∴斜率为$\sqrt{3}$或$-\sqrt{3}$．-------（6分）
（2）${S_{OACB}}=2{S_{△AOB}}=2•\frac{1}{2}|{OF}||{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{6}×|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{6}\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\frac{1}{6}\sqrt{\frac{4}{9}{m^2}+\frac{4}{9}}≥\frac{1}{6}×\frac{2}{3}=\frac{1}{9}$
当m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值为$\frac{1}{9}$．-------（12分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，设而不求以及二次函数的性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．