Question

已知函数f（x）=x³+3ax²+b有极值，且极大值点与极小值点分别为A、B，又线段AB（不含端点）与函数f（x）图象交于点（1，0）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=2x²+4x-k，已知对任意x₁、x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）|≤|g（x₂）|，求k的取值．

Answer 1

分析：（1）先求导，令f′（x）=3x²+6ax可得x₁=0，x₂=-2a，求出A，B的坐标，进一步求直线AB的方程，其经过（1，0），且f（1）=0，联立可得a，b
（2）依题意可把问题转化为|f（x）|_max≤|g（x₂）|，x₁，x₂∈[-1，1]

解答：解：（1）f′（x）=3x²+6ax，
又f′（x）=0则x₁=0，x₂=-2a，而f（0）=b，
f（-2a）=4a³+b，则点A（0，b）B（-2a，4a³+b）
则直线AB方程为：

y-b

x-0

=

4a3+b-b

-2a-0

①而且（1，0）满足①式，
则b=2a²，又f（1）=0则1+3a+b=0．
∴

a=-1 b=2

或

a=- 1 2 b= 1 2

，
而交点（1，0）在线段AB上，则a=-1，b=2为所求
（2）|x³-3x²+2|≤|2x²+4x-k|，x∈[-1，1]，则|f（x）|_max=2，
故2x²+4x-k≥2或2x²+4x-k≤-2，∴{k|k≤-4或k≥8}为所求．

点评：本题考查了导数的应用：极值的求解，而在处理函数的恒成立问题时，常把其转化为求函数在一闭区间上的最值问题，但要注意函数的在区间上“恒成立”与“存在x∈区间I”是两个不同的问题，要注意区别．