Question

已知A（2，-5，1），B（2，-2，4），C（1，-4，1），则向量

AB

与

AC

的夹角等于

π

3

．

Answer 1

分析：利用两个向量数量积公式求出

AB

•

AC

=3，再由两个向量的数量积的定义求出

AB

•

AC

=6cosθ，故有3=
6cosθ，解出cosθ 的值，再由0≤θ≤π，可得 θ 的值．

解答：解：

AB

=（2，-2，4）-（2，-5，1）=（0，3，3），

AC

=（1，-4，1）-（2，-5，1）=（-1，1，0），
∴

AB

•

AC

=（0，3，3）•（-1，1，0）=0+3+0=3．
再由|

AB

|=3

2

，|

AC

|=

2

，设向量

AB

与

AC

的夹角θ，
则有

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cosθ=3

2

•

2

 cosθ=6cosθ．
故有3=6cosθ，∴cosθ=

1

2

．
再由 0≤θ≤π，可得 θ=

π

3

．
故答案为

π

3

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量数量积公式的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．