Question

如图1,设P₁,P₂,P₃,…,P_n,…是曲线y=x上的点列,Q₁,Q₂,Q₃,…,Q_n,…是x轴正半轴上的点列,且△OQ₁P₁,△Q₁Q₂P₂,…,△Q_n-1Q_nP_n,…都是正三角形,设它们的边长为a₁,a₂,…,a_n,…,求证:a₁+a₂+…+a_n=n(n+1).

图1

Answer 1

证明：(1)当n=1时,点P₁是直线y=与曲线y=的交点,∴可求出P₁(,).

∴a₁=|OP₁|=.

而×1×2=,命题成立.

(2)假设n=k(k∈N^*)时命题成立,即a₁+a₂+…+a_k=k(k+1),则点Q_k的坐标为(k(k+1),0),

∴直线Q_kP_k+1的方程为y=［x-k(k+1)］.代入y=,解得P_k+1点的坐标为((k+1)).

∴a_k+1=|Q_kP_k+1|=(k+1)·=(k+1).

∴a₁+a₂+…+a_k+a_k+1=k(k+1)+(k+1)=(k+1)(k+2).

∴当n=k+1时,命题成立.

由(1)(2),可知命题对所有正整数都成立.