Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（2，1），B（-1，1），若点P满足

OP

=α•

OA

+β•

OB

，其中α，β∈R且2α²+β²=

2

3

． 
1）求点P的轨迹C的方程.2）设D（0，2），过D的直线L与曲线C交于不同的两点M、N，且M点在D，N之间，设

DM

=λ

DN

，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：1）设P（x，y），由条件

OP

=α•

OA

+β•

OB

，x、y可由α和β表达，反解出α和β代入2α²+β²=

2

3

．可得x和y的关系式，此即为点P的轨迹C的方程
2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

DM

=λ

DN

可得x₁=λx₂，
设出直线l的方程，与椭圆联立、消元、维达定理，

解答：解：1）设P（x，y），由条件

OP

=α•

OA

+β•

OB

，得

α= x+y 3 β= 2y-x 3

，代入2α²+β²=

2

3

．
可得

x2

2

+y2 =1，此即为点P的轨迹C的方程
2）当直线l斜率存在时，设l：y=kx+2，代入椭圆方程得：
（1+2k²）x²+8kx+6=0
因为直线L与曲线C交于不同的两点M、N，
所以△＞0，解得k2＞

3

2

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由维达定理可得x₁+x₂=

-8k

1+2 k2

，x₁x₂=

6

1+2k2

由

DM

=λ

DN

可得x₁=λx₂代入上式可得
λ+ 

1

λ

+2 =

( x1+x2)  2

x1x2

=

16

3

-

16

3(1+2k2)

因为k2＞

3

2

，所以2＜λ+

1

λ

＜

10

3

，解得

1

3

＜λ＜3且λ≠1
当直线l斜率不存在时，λ=

1

3

又因为M点在D，N之间，所以0＜λ＜1
所以λ的取值范围是[

1

3

，1)

点评：本题考查相关点法求轨迹方程、直线与椭圆的位置关系问题、求参数的范围问题．考查运算能力和逻辑推理能力．
注意向量在题目条件中的作用，提供点的坐标的关系．