Question

若数列{a_n}为等差数列，S_n为其前n项和，S₅=S₆，公差d=-2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知{b_n}是公比为正数的等比数列，b₁=a₅，b₃=

1

3

（a₁+a₂+a₃），求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用等比数列的前n项和公式、“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，S_n为其前n项和，S₅=S₆，公差d=-2．
∴5a1+

5×4

2

×(-2)=6a1+

6×5

2

×(-2)，解得a₁=10．
∴a_n=10-2（n-1）=12-2n．
（2）b₁=a₅=2，b₃=

1

3

（a₁+a₂+a₃）=

1

3

(10+8+6)=8，
∵b_n}是公比q＞0的等比数列，
∴b3=b1q2，即8=2q²，解得q=2．
∴b_n=2×2^n-1=2ⁿ．
∴a_n•b_n=（12-2n）•2ⁿ．
∴数列{a_n•b_n}的前n项和T_n=10×2+8×2²+6×2³+…+（12-2n）•2ⁿ，
2T_n=10×2²+8×2³+…+（14-2n）•2ⁿ+（12-2n）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=-10×2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ+（12-2n）•2ⁿ⁺¹=-24+

4(2n-1)

2-1

+（12-2n）•2ⁿ⁺¹=（14-2n）•2ⁿ⁺¹-28．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．