Question

9．如图，在各棱长均相等的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠A₁AC=60°，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求证：平面ABB₁A₁⊥平面AB₁C．

Answer 1

分析 （1）连接AB₁和A₁B，交于E，连接DE，运用中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；
（2）运用菱形的对角线垂直和线面垂直的判断和性质，可得A₁B⊥平面AB₁C，再由面面垂直的判定定理，即可得证．

解答 证明：（1）连接AB₁和A₁B，交于E，连接DE，
由D，E分别为AC，A₁B的中点，可得DE∥B₁C，
由DE?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
即有B₁C∥平面A₁BD；
（2）由菱形ABB₁A₁，可得AB₁⊥A₁B，
∠A₁AC=60°，D为AC的中点，可得A₁D⊥AC，
又BD⊥AC，则AC⊥平面A₁BD，
即有AC⊥A₁B，又AB₁⊥A₁B，
则A₁B⊥平面AB₁C，
而A₁B?平面ABB₁A₁，则平面ABB₁A₁⊥平面AB₁C．

点评 本题考查线面平行和面面垂直的判定，注意运用线面平行和面面垂直的判定定理，考查空间线面位置关系的转化，属于中档题．