Question

16． 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的$\frac{3}{16}$，求这两个圆锥中，体积较小者与体积较大者的高的比值．

Answer 1

分析 根据题意，结合图形设出球的半径，求出球的面积以及圆锥的底面积，由此求出圆锥的底面半径和两圆锥的高的比值．

解答 解：设球的半径为R=4；则球的表面积为4π×4²=64π，
两圆锥的底面积为$\frac{3}{16}$×64π=12π，
所以圆锥的底面半径r满足πr²=12π，
解得r=2$\sqrt{3}$；
由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离d，
球的半径R以及圆锥底面的半径r三者构成一个直角三角形，
由此求出球心到圆锥底面的距离d=$\sqrt{{4}^{2}{-（2\sqrt{3}）}^{2}}$=2，
所以圆锥体积较小者的高为h=R-d=4-2=2，
同理得圆锥体积较大者的高为H=R+d=4+2=6；
所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了旋转体的表面积以及球内接圆锥的表面积的应用问题，也考查了计算能力与空间想象能力，是基础题目．