Question

已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由AB⊥平面BCD?AB⊥CD，又CD⊥BC?CD⊥平面ABC，再利用条件可得不论λ为何值，恒有EF∥CD?EF?平面BEF，就可得不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD?BE⊥平面ACD?BE⊥AC．故只须让所求λ的值能证明BE⊥AC即可．在△ABC中求出λ的值．

解答：证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，
∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．（3分）
又∵

AE

AC

=

AF

AD

=λ(0＜λ＜1)，
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF?平面BEF，
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又∵平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC．（9分）
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴BD=

2

，AB=

2

tan60°=

6

，（11分）
∴AC=

AB2+BC2

=

7

，
由AB²=AE•AC得AE=

6

7

，∴λ=

AE

AC

=

6

7

，（13分）
故当λ=

6

7

时，平面BEF⊥平面ACD．（14分）

点评：本题考查了面面垂直的判定．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直．