Question

已知函数，（为常数）
（1）当时恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数有对称中心为A（1，0），求证：函数的切线在切点处穿过图象的充要条件是恰为函数在点A处的切线．（直线穿过曲线是指：直线与曲线有交点，且在交点左右附近曲线在直线异侧）

Answer 1

（1）实数的取值范围是：；（2）详见试题解析．

试题分析：（1）由已知条件，构造函数，当时恒成立恒成立．利用导数讨论函数的单调性及最值，即可求得实数的取值范围；（2）由已知，函数关于A（1，0）对称，则是奇函数，由此可求出的值，进而得的解析式，利用导数的几何意义，求出函数在点A处的切线，构造函数，，利用导数分别研究函数，的单调性，结合直线穿过曲线定义，证明充分性和必要性．
试题解析：（1）设，．令：，得或．
所以：当，即时，在是增函数，最小值为，满足；当，即时，在区间为减函数，在区间为增函数．所以最小值，故不合题意．所以实数的取值范围是：             6分
（2）因为关于A（1，0）对称，则是奇函数，所以，所以 ，则．若为A点处的切线则其方程为：，令，，所以为增函数，而所以直线穿过函数的图象．                        9分
若是函数图象在的切线，则方程：，设，则
，令得：，当时：，，从而处取得极大值，而，则当时，所以图象在直线的同侧，所在不能在穿过函数图象，所以不合题意，同理可证也不合题意．所以（前面已证）所以即为点．所以原命题成立．                              14分